试题

如图，已知AB为⊙O的直径，EA为⊙O的切线，A为切点，D是EA上一点，且∠DBA=30°，DB交⊙O于点C，连接OC并延长交EA于点P．
（1）求证：OA=

1

2

OP；
（2）若⊙O的半径为

3

cm，求四边形OADC的面积．

解：（1）证明：∵OB=OC，∠DBA=30°，
∴∠OCB=∠DBA=30°，
∵∠POA为△BOC的外角，
∴∠POA=∠OCB+∠DBA=60°，
又∵EA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠APO=30°，
∴OA=

1

2

OP；
（2）过O作OF⊥BC，交BC于点F，
在Rt△OBF中，OB=

3

cm，∠B=30°，
∴OF=

1

2

OB=

3

2

cm，
根据勾股定理得：BF=

OB2-OF2

=

3

2

cm，
∴BC=2BF=3cm，
∴S_△OBC=

1

2

BC·OF=

3 3

4

cm²，
在Rt△BAD中，∠DBA=30°，AB=2

3

cm，
∴AD=AB·tan30°=2cm，
∴S_△BAD=

1

2

AD·AB=

1

2

×2×2

3

=2

3

cm²，
则S_{四边形OADC}=S_△BAD-S_△OBC=2

3

-

3 3

4

=

5 3

4

cm²．
解：（1）证明：∵OB=OC，∠DBA=30°，
∴∠OCB=∠DBA=30°，
∵∠POA为△BOC的外角，
∴∠POA=∠OCB+∠DBA=60°，
又∵EA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠APO=30°，
∴OA=

1

2

OP；
（2）过O作OF⊥BC，交BC于点F，
在Rt△OBF中，OB=

3

cm，∠B=30°，
∴OF=

1

2

OB=

3

2

cm，
根据勾股定理得：BF=

OB2-OF2

=

3

2

cm，
∴BC=2BF=3cm，
∴S_△OBC=

1

2

BC·OF=

3 3

4

cm²，
在Rt△BAD中，∠DBA=30°，AB=2

3

cm，
∴AD=AB·tan30°=2cm，
∴S_△BAD=

1

2

AD·AB=

1

2

×2×2

3

=2

3

cm²，
则S_{四边形OADC}=S_△BAD-S_△OBC=2

3

-

3 3

4

=

5 3

4

cm²．