试题

如图，⊙O的直径AB=4

3

，AC是⊙O的弦，PB平分∠ABC交⊙O于P，⊙O的切线PE与BC的延长线相交于E，连接OP与AC相交于F．
（1）判定四边形PECF的形状．
（2）当C是

PB

的中点时，求梯形OBEP的面积．

解：（1）∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
∴∠OPB=∠EBP，
∴OP∥BE，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°，
∵PE是切线，
∴∠EPF=90°，
∴∠E=90°，
∴四边形PECF是矩形；

（2）∵C是

PB

的中点，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP=30°，
∵AB=4

3

，
∴BC=2

3

，
∴AC=6，OF=PE=

3

，
∴CF=3，
∴S_梯形OBEP=

(OP+BE)×PE

2

=

(2 3 +3 3 )×3

2

=

15 3

2

．
解：（1）∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
∴∠OPB=∠EBP，
∴OP∥BE，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°，
∵PE是切线，
∴∠EPF=90°，
∴∠E=90°，
∴四边形PECF是矩形；

（2）∵C是

PB

的中点，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABP=∠EBP=30°，
∵AB=4

3

，
∴BC=2

3

，
∴AC=6，OF=PE=

3

，
∴CF=3，
∴S_梯形OBEP=

(OP+BE)×PE

2

=

(2 3 +3 3 )×3

2

=

15 3

2

．