试题

题目：
青果学院在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D在AC上，以DC为直径的半圆O切AB于E．F在CE上，CF：EF=1：3，OF=1，求BC的长．
答案
青果学院解：连接OE，过O作OH⊥CE于H，
∴EH=CH，
∵CF：EF=1：3，
∴FH=CF，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
即∠AEO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOA=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=
1
2
∠EOA=30°，
设OH=x，
则OC=2x，CH=OC·cos∠OCE=
3
x，
∴FH=
3
2
x，
在Rt△OFH中，OF2=OH2+FH2，
即1=x2+（
3
2
x）2，
解得：x=
2
7
7
，
∴OE=OC=
4
7
7
，
∴OA=2OE=
8
7
7
，
∴AC=
12
7
7
，
∴BC=AC·tan∠A=
12
7
7
×
3
3
=
4
21
7
．
青果学院解：连接OE，过O作OH⊥CE于H，
∴EH=CH，
∵CF：EF=1：3，
∴FH=CF，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
即∠AEO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOA=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=
1
2
∠EOA=30°，
设OH=x，
则OC=2x，CH=OC·cos∠OCE=
3
x，
∴FH=
3
2
x，
在Rt△OFH中，OF2=OH2+FH2，
即1=x2+（
3
2
x）2，
解得：x=
2
7
7
，
∴OE=OC=
4
7
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，
∴OA=2OE=
8
7
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，
∴AC=
12
7
7
，
∴BC=AC·tan∠A=
12
7
7
×
3
3
=
4
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7
．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；垂径定理．
首先连接OE，过O作OH⊥CE于H，由垂径定理与CF：EF=1：3，易得FH=CF，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB是⊙O的切线，易求得∠OCE=30°，然后设OH=x，利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得OC的长，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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