试题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点D，DE⊥AB于E．
（1）求证：CD=DE；
（2）若AE：AC=1：2，AB=10，求DE的长．

解：（1）连接OD、BD．
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵DE⊥AB于E，
∴OD∥BC，
∴∠1=∠3，
∵OD=OB
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=DE．
（2）∵∠DEA=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

AD

AB

=

DE

BC

=

1

2

．
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×10=5，BC=2DE．
设DE=x，则DC=DE=x，BC=2x，AC=5+x．
在△ABC中，AB²=AC²+BC²．
则100=（5+x）²+（2x）²，
解得：x=3，
DE的长为3．
解：（1）连接OD、BD．
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵DE⊥AB于E，
∴OD∥BC，
∴∠1=∠3，
∵OD=OB
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=DE．
（2）∵∠DEA=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

AD

AB

=

DE

BC

=

1

2

．
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×10=5，BC=2DE．
设DE=x，则DC=DE=x，BC=2x，AC=5+x．
在△ABC中，AB²=AC²+BC²．
则100=（5+x）²+（2x）²，
解得：x=3，
DE的长为3．