试题

如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B，直线CD过A交⊙O₁和⊙O₂于C、D，且AC=AD，EC、ED分别切两圆于C、D．
求证：AC²=AB·AE．

证明：作△BCD的外接圆⊙O₃，延长BA交⊙O₃于F，在优弧BD上找一点M
连接O₁C，O₁B，BC，O₂B，O₂D，BD，DM，BM
∵EC、ED分别切两圆于C、D，
∴∠EDB+∠BDO₂=90°，
∵∠BDO₂=∠DBO₂，
∴∠DBO₂+∠EDB=90°，
又∵∠CAB+∠BAD=180°，∠M+∠BAD=180°，
∴∠M=∠CAB，
∴∠CAB=∠DO₂B，
∴∠ACB=∠DBO₂，
∴∠ECB+∠EDB=180°，
∴∠DEC+∠CBD=180°，
即E、B、D、C四点共圆，可得：
△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴AC·AD=AF·AB，
∵AC=AD，
即 AC²=AB·AE．
证明：作△BCD的外接圆⊙O₃，延长BA交⊙O₃于F，在优弧BD上找一点M
连接O₁C，O₁B，BC，O₂B，O₂D，BD，DM，BM
∵EC、ED分别切两圆于C、D，
∴∠EDB+∠BDO₂=90°，
∵∠BDO₂=∠DBO₂，
∴∠DBO₂+∠EDB=90°，
又∵∠CAB+∠BAD=180°，∠M+∠BAD=180°，
∴∠M=∠CAB，
∴∠CAB=∠DO₂B，
∴∠ACB=∠DBO₂，
∴∠ECB+∠EDB=180°，
∴∠DEC+∠CBD=180°，
即E、B、D、C四点共圆，可得：
△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴AC·AD=AF·AB，
∵AC=AD，
即 AC²=AB·AE．