试题

题目：
青果学院如图，弦AB⊥弦CD于E，若AE=2，BE=6，DE=3，则⊙O的半径长=
65
2
65
2
．
答案
65
2

解：连接AD，CB，过O作OG⊥CD，OF⊥AB，如图所示：
青果学院
∵∠A=∠DCB，∠D=∠B，
∴△AED∽△CEB，
∴
AE
CE
=
ED
EB
，又AE=2，BE=6，DE=3，
∴CE=
AE·EB
ED
=4，
又OF⊥AB，AB=AE+EB=2+6=8，
∴F为AB的中点，即AF=BF=
1
2
AB=4，
∴EF=AF-AE=4-2=2，
又OG⊥CD，OF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠OGE=∠GEF=∠OFE=90°，
∴四边形OGEF为矩形，
∴OG=EF=2，又CD=CE+ED=4+3=7，
∴CG=
1
2
CD=
7
2
，
在直角三角形OCG中，OG=2，CG=
7
2
，
根据勾股定理得：OC=
OG2+CG2
=
65
2
，
则圆O的半径为
65
2
．
故答案为：
65
2
考点梳理
垂径定理；勾股定理．
连接AD，CB，过O作OG垂直于CD，OF垂直于AB，由垂径定理可得G、F分别为CD、AB的中点，同时根据同弧所对的圆周角相等可得两对圆周角相等，根据两对应角相等的两三角形相似，得到三角形ADE与三角形CBE相似，根据相似得比例，把已知AE，BE及DE的长代入求出CE的长，进而确定出AB及DC的长，由F为AB中点，求出AF的长，用AF-AE求出EF的长，再根据四边形OGEF的三个角为直角得到此四边形为矩形，根据矩形的对边相等可得OG=EF，得出OG的长，由G为CD的中点，求出CG的长，在直角三角形OCG中，利用勾股定理求出OC的长，即为圆O的半径．
此题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及矩形的判定与性质，根据图形作出相应的辅助线是解本题的关键．
计算题；压轴题．
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