试题

题目：
如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、b都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚好互换位置．则a2+b2的值是
7361
7361
．
答案
7361

解：设a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，
∵这条弦的弦心距是正有理数，
∴
(
a
2
)2-(
b
2
)2
∈正有理数，
即
3
2
11(x2-y2)
是有理数必有x2-y2=11×t2，t∈N，且x2-y2=11×t2≤81，
得t=1或2 当t=1时，符合条件的x、y为6、5，
即a=65，b=56，当t=2时，无符合条件的x、y，
综上，a=65，b=56，
∴a2+b2=7361，
故答案为：7361．
考点梳理
完全平方数；数的十进制；垂径定理．
设a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，根据这条弦的弦心距是正有理数即可求出a与b的值，从而得出答案．
本题考查了完全平方数及十进制表示法，难度一般，关键是正确设出a，b的表示形式．
计算题．
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