试题

题目：
青果学院（2007·梅州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．
（1）求弦CD的长；
（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．
答案
青果学院解：（1）连接OC，OC=
a+b
2
，OP=
a+b
2
-a=
b-a
2
，
所以PC2=OC2-OP2=(
a+b
2
)2-(
b-a
2
)2=ab，
得CD=2PC=2
ab
；

（2）由于CD≤AB，所以2
ab
≤a+b=10，
得ab≤25，
所以ab的最大值为25，此时a=b=5．
青果学院解：（1）连接OC，OC=
a+b
2
，OP=
a+b
2
-a=
b-a
2
，
所以PC2=OC2-OP2=(
a+b
2
)2-(
b-a
2
)2=ab，
得CD=2PC=2
ab
；

（2）由于CD≤AB，所以2
ab
≤a+b=10，
得ab≤25，
所以ab的最大值为25，此时a=b=5．
考点梳理
垂径定理；不等式的性质；勾股定理．
（1）先求出圆的半径，连接OC构造出直角三角形，利用勾股定理可求出CP的长，弦CD=2CP；
（2）根据同一个圆中弦不大于直径．
构造以半径为斜边的直角三角形利用勾股定理求解是考查的重点之一．
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