试题

题目：
AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，弧AB的中点D到AB的距离为2，则弦AB的长为
2
3
2
3
．
答案
2
3

解：如图，OD与AB交于C，
∵点D为弧AB的中点，
∴OD⊥AB，∠AOD=∠BOD=
1
2
∠AOB=
1
2
×120°=60°，
∴AC=BC，CD=2，
在Rt△AOC中，∠A=30°，
设OC=x，则OA=2x，AC=
3
x，
∵OD=2x，
∴2x=2+x，解得x=1，
∴AC=
3
，
∴AB=2AC=2
3
．
故答案为2
3
．
考点梳理
垂径定理；勾股定理．
由点D为弧AB的中点，根据垂径定理的推论得OD⊥AB，且∠AOD=
1
2
∠AOB=60°，再根据垂径定理得到AC=BC，且有CD=2，在Rt△AOC中根据含30度的直角三角形三边的关系得到若OC=x，则OA=2x，AC=
3
x，然后利用OD=2x得2x=2+x，解得x=1，所以AC=
3
，则AB=2AC=2
3
．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
计算题．
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