试题

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

2

，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．
（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；
（2）求出该最小值．

解：（1）如图由垂线段的性质可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，

（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2

2

，
∴由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，
由圆周角定理得：∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，
∴∠OEH=30°，OE=1，
∴在Rt△EOH中，OH=

1

2

，EH=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
由垂径定理得：EF=2EH=

3

．
解：（1）如图由垂线段的性质可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，

（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2

2

，
∴由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，
由圆周角定理得：∠EOH=

1

2

∠EOF=∠BAC=60°，
∴∠OEH=30°，OE=1，
∴在Rt△EOH中，OH=

1

2

，EH=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
由垂径定理得：EF=2EH=

3

．