试题

题目：
青果学院如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是劣弧BO上任一点，∠BMO=120°，求圆心C的坐标．
答案
青果学院解：连接BC、OC，过点C作CN⊥OB于N，CE⊥OA于E，
∵CN、CE过圆心，CN⊥BO，CE⊥AO，
∴AE=OE，ON=BN，
∴∠CNO=∠NOE=∠OEC=90°，
∴四边形CNOE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴CN=OE，
∵点A的坐标为（0，4），
∴OA=4，
∴OE=CN=2，
∵∠BMO=120°，
∴优弧
BAO
的度数为240°，
∴∠BCO=120°，
∴∠NCO=60°，
∴CE=NO=2
3
，
∴C（-2
3
，2）．
青果学院解：连接BC、OC，过点C作CN⊥OB于N，CE⊥OA于E，
∵CN、CE过圆心，CN⊥BO，CE⊥AO，
∴AE=OE，ON=BN，
∴∠CNO=∠NOE=∠OEC=90°，
∴四边形CNOE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴CN=OE，
∵点A的坐标为（0，4），
∴OA=4，
∴OE=CN=2，
∵∠BMO=120°，
∴优弧
BAO
的度数为240°，
∴∠BCO=120°，
∴∠NCO=60°，
∴CE=NO=2
3
，
∴C（-2
3
，2）．
考点梳理
垂径定理；坐标与图形性质；矩形的判定．
连接BC、OC，过点C作CN⊥OB于N，CE⊥OA于E，根据已知条件，易证四边形CNOE是矩形，已知点A的坐标，易求OE=2，所以CN=2，已知∠BMO=120°，易求∠NCO=60°，所以NO=2
3
，故点C的坐标可求．
本题结合平面直角坐标系考查了垂径定理，正确添加辅助线是解题的关键，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距．
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