试题

题目：
青果学院如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点F，连接DO并延长交AC于点E，且DE⊥AC
（1）求证：CE=DF；
（2）求∠BOD的度数．
答案
青果学院（1）证明：连接AD，
∵DE⊥AC，
∴AE=CE，
∴AD=CD，
同理可得AC=AD，
∴AC=AD=CD，
∴
1
2
AC=
1
2
CD，即CE=DF；

（2）∵由（1）知△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∵直径AB⊥CD于点F，
∴
BC
=
BD
，∠DAB=30°，
∴∠BOD=2∠DAB=60°．
青果学院（1）证明：连接AD，
∵DE⊥AC，
∴AE=CE，
∴AD=CD，
同理可得AC=AD，
∴AC=AD=CD，
∴
1
2
AC=
1
2
CD，即CE=DF；

（2）∵由（1）知△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∵直径AB⊥CD于点F，
∴
BC
=
BD
，∠DAB=30°，
∴∠BOD=2∠DAB=60°．
考点梳理
垂径定理．
（1）连接AD，由垂径定理可知DE是AC的垂直平分线，故可得出AD=CD，同理可得AC=AD，故AC=AD=CD，进而可得出结论；
（2）由（1）知△ACD是等边三角形，再由垂径定理可知
BC
=
BD
，根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
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