试题

已知△ABC中，∠BAC=60゜，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．
（1）如图1，若AD=4，求EF的长；
（2）如图2，若∠ABC=45゜，AB=2

2

，求EF的最小值．

解：（1）作直径EP，连结PF，如图1，
∵EP为⊙O的直径，
∴∠EFP=90°，
∵∠P=∠EAF=60°，
∴∠PEF=30°，
∴PF=

1

2

PE，
EF=

3

PF=

3

2

EP，
∵EP=AD=4，
∴EF=

3

2

×4=2

3

；

（2）∵EF=

3

2

EP=

3

2

AD，
∴当AD最小时，EF最小，
当AD⊥BC时，AD最小，如图2，
∵∠ABC=45゜，AB=2

2

，
∴AD=

2

2

AB=2，
∴EF=

3

2

×2=

3

，
即EF的最小值为

3

．
解：（1）作直径EP，连结PF，如图1，
∵EP为⊙O的直径，
∴∠EFP=90°，
∵∠P=∠EAF=60°，
∴∠PEF=30°，
∴PF=

1

2

PE，
EF=

3

PF=

3

2

EP，
∵EP=AD=4，
∴EF=

3

2

×4=2

3

；

（2）∵EF=

3

2

EP=

3

2

AD，
∴当AD最小时，EF最小，
当AD⊥BC时，AD最小，如图2，
∵∠ABC=45゜，AB=2

2

，
∴AD=

2

2

AB=2，
∴EF=

3

2

×2=

3

，
即EF的最小值为

3

．