试题

题目：
青果学院如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．
①若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长；
②若AB=10，OA=13，请直接写出OP的长．
答案
（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；

（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴AE=BE=
1
2
AB=1，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=
3
AE=
3
，
∵AB∥OC．
∴
PE
OP
=
OC
AE
，即
PE
OP
=
1
2
，
∴
PE
OE
=
1
3
，
∴PE=
1
3
OE=
3
3
；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE=
132-52
=12，
∵AB∥OC．
∴
OP
PE
=
OC
AE
，
∴
OP
OE
=
13
13+5
，
∴OP=
13
18
×12=
26
3
．
（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；

（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴AE=BE=
1
2
AB=1，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=
3
AE=
3
，
∵AB∥OC．
∴
PE
OP
=
OC
AE
，即
PE
OP
=
1
2
，
∴
PE
OE
=
1
3
，
∴PE=
1
3
OE=
3
3
；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE=
132-52
=12，
∵AB∥OC．
∴
OP
PE
=
OC
AE
，
∴
OP
OE
=
13
13+5
，
∴OP=
13
18
×12=
26
3
．
考点梳理
垂径定理；平行线的性质；勾股定理．
（1）由AB∥OC，得∠C=∠BAC，而∠C=∠OAC，得到∠BAC=∠OAC；
（2）①由OE⊥AB，AB=2，得AE=
1
2
AB=1，再由∠AOE=30°，∠OEA=90°，得到OE=
3
AE=
3
，然后根据AB∥OC，得到
PE
OP
=
OC
AE
，即
PE
OP
=
1
2
，利用比例的性质即可得到PE．
②和①的方法一样，先根据垂径定理得到AE=5，根据勾股定理得OE=
132-52
=12，再利用AB∥OC，得到
OP
PE
=
OC
AE
，利用比例的性质即可得到OP．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理、平行线的性质、三角形相似的性质以及比例的性质．
计算题．
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