试题

题目：
青果学院（2011·浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为
4：3
4：3
．
答案
4：3

解：连接DF，
青果学院
∵△BEC绕C点旋转90°使B与DC重合，得到△DCF，
∴△BEC≌△DFC，
∴∠EBC=∠FDC①，BE=DF，CE=CF=3，
在直角三角形BEC中，BE=
BC2-CE2
=4；
已知∠BCD=90°，∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，∠BCE+∠ECM=90°，
∴∠EBC=∠ECM②，
∴由①②得∠ECM=∠FDC；
又∵∠CME=∠DMF，
∴△CME∽△DMF，
∴DM：MC=DF：CE=4：3．
故答案为：4：3．
考点梳理
直角梯形；旋转的性质．
由旋转的性质易得△BEC≌△DFC，可得∠EBC=∠FDC，CE=CF=3，在直角三角形BEC中即可求得BE=4；已知∠BCD=90°，由∠EBC+∠ECB=90°，且∠BCE+∠ECM=90°，即可得∠EBC=∠ECM，则∠ECM=∠FDC；则可证得△CME∽△DMF即可得DM：MC=DF：CE即可得解．
本题考查了旋转的性质，直角梯形的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，是一道综合性的中档题．
证明题．
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