试题

题目：
已知a是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
①不解方程，求a+
1
a
的值；
②根据①的结果，求
a
-
1
a
的值；
③先化简，再求值
1-2a+a2
a-1
-
a2-2a+1
a2-a
-
1
a
．
答案
解：（1）∵a是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a2-4a+1=0，
即a2+1=4a，
则a+
1
a
=
a2+1
a
=
4a
a
=4；

（2）（
a
-
1
a
）2=a+
1
a
-2=4-2=2．
∵一元二次方程x2-4x+1=0的两个根的和是4，两根的积是1，
则0＜a＜1，
∴
a
-
1
a
=-
2
；

（3）解方程x2-4x+1=0，得：x=2±
3
，则a=2-
3
，
∴a-1＜0
∴原式=
(1-a)2
a-1
-
(a-1)2
a(a-1)
-
1
a

=a-1+
1
a
-
1
a

=a-1=1-
3
．
解：（1）∵a是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a2-4a+1=0，
即a2+1=4a，
则a+
1
a
=
a2+1
a
=
4a
a
=4；

（2）（
a
-
1
a
）2=a+
1
a
-2=4-2=2．
∵一元二次方程x2-4x+1=0的两个根的和是4，两根的积是1，
则0＜a＜1，
∴
a
-
1
a
=-
2
；

（3）解方程x2-4x+1=0，得：x=2±
3
，则a=2-
3
，
∴a-1＜0
∴原式=
(1-a)2
a-1
-
(a-1)2
a(a-1)
-
1
a

=a-1+
1
a
-
1
a

=a-1=1-
3
．
考点梳理
二次根式的化简求值；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
（1）a是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中较小的根，则把x=a代入方程可以得到a2+1=4a，则所求的代数式即可化简；
（2）首先求得
a
-
1
a
的平方的值，然后确定a的范围，则
a
-
1
a
的值即可确定；
（3）首先对分式以及二次根式进行化简，然后进行分式的加减即可求解．
此题主要考查的是二次根式的性质：以及一元二次方程的根与系数的关系，正确确定a的范围是关键．
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