试题

题目：
已知a，b为正整数，关于x的方程x2-2ax+b=0的两个实数根为x1，x2，关于y的方程y2+2ay+b=0的两个实数根为y1，y2，且满足x1y1-x2y2=2008．求b的最小值．
答案
解：关于x的方程x2-2ax+b=0的根为a±
a2-b
，关于y的方程y2+2ay+b=0的根为-a±
a2-b
．
设
a2-b
=t，则
当x1=a+t，x2=a-t；y1=-a+t，y2=-a-t时，有x1y1-x2y2=0，不满足条件；
当x1=a-t，x2=a+t；y1=-a-t，y2=-a+t时，有x1y1-x2y2=0，不满足条件；
当x1=a-t，x2=a+t；y1=-a+t，y2=-a-t时，得x1y1-x2y2=4at；
当x1=a+t，x2=a-t；y1=-a-t，y2=-a+t时，得x1y1-x2y2=-4at．
由于t=
a2-b
＞0，于是有at=502．
（10分）
又由于a为正整数，得知t是有理数，从而t是整数．
由at=502，得a=251，t=2，即b取最小值为b=a2-t2=2512-22=62997．
所以b的最小值为62997．
（15分）
解：关于x的方程x2-2ax+b=0的根为a±
a2-b
，关于y的方程y2+2ay+b=0的根为-a±
a2-b
．
设
a2-b
=t，则
当x1=a+t，x2=a-t；y1=-a+t，y2=-a-t时，有x1y1-x2y2=0，不满足条件；
当x1=a-t，x2=a+t；y1=-a-t，y2=-a+t时，有x1y1-x2y2=0，不满足条件；
当x1=a-t，x2=a+t；y1=-a+t，y2=-a-t时，得x1y1-x2y2=4at；
当x1=a+t，x2=a-t；y1=-a-t，y2=-a+t时，得x1y1-x2y2=-4at．
由于t=
a2-b
＞0，于是有at=502．
（10分）
又由于a为正整数，得知t是有理数，从而t是整数．
由at=502，得a=251，t=2，即b取最小值为b=a2-t2=2512-22=62997．
所以b的最小值为62997．
（15分）
考点梳理
解一元二次方程-公式法．
根据公式法首先表示出方程的根，再利用假设法分析得出注意a为正整数，得知t是有理数，从而t是整数．
此题主要考查了公式法解一元二次方程，此题难度较大，求出根后，分别分析得出符合条件的b的值是解决问题的关键．
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