试题

题目：
a、b是实数，如果已知
4
a4
-
2
a2
-3=0，且b4+b2-3=0，那么
a4b4+4
a4
的值是（　　）



答案
B
解：解法一：令m=
2
a2
，n=b2
则
4
a4
-
2
a2
-3=0，转化为m2-m-3=0，b4+b2-3=0转化为n2+n-3=0，
解方程m2-m-3=0得m=
1+
13
2
或m=
1-
13
2
，
由于m=
2
a2
＞0，m=
1+
13
2
，
同理解方程n2+n-3=0得n=
-1+
13
2
，n=
-1-
13
2
（不合题意，舍去），
所以m=
1+
13
2
，n=
-1+
13
2
，
因而
a4b4+4
a4
=b4+
4
a4
=m2+n2=（m+n）2-2mn=(
13)
2-2×3=7；
故选B．

解法二：设m=-
2
a2
，n=b2，则根据题意m、n可以看作是方程x2+x-3=0的两个根，
∴m+n=-1，mn=-3，
a4b4+4
a4
=（-
2
a2
）2+（b2）2，
=m2+n2，
=（m+n）2-2mn，
=（-1）2-2×（-3），
=1+6，
=7．
故选B．
考点梳理
分式的化简求值；完全平方式；平方差公式；解一元二次方程-公式法．
解法一：假设m=
2
a2
，n=b2将
4
a4
-
2
a2
-3=0转化为一元二次方程m2-m-3=0，b4+b2-3=0转化为一元二次方程n2+n-3=0
利用公式法解这两个一元二次方程，得到m、n的值（不合题意，舍去）．
将
a4b4+4
a4
转化为m2+n2，再进一步转化（m+n）2-2mn，用完全平方公式与平方差公式即可求解．
解法二：假设m=-
2
a2
，n=b2，则根据已知与一元二次方程的根与系数的关系，那么m、n可以看作是方程x2+x-3=0的两个根
则m+n=-1，mn=-3
该式
a4b4+4
a4
可变换为m2+n2=（m+n）2-2mn，至此问题得以解决．
这道题目确实很好，也很难，可谓是一道综合题，涉及到一元二次方程根与系数的关系求解、换元法、平方差公式、完全平方公式，即使做为大题出现也不为过．同学们一定要重视本题的解题思路．对于解法二具有一定层次的同学可以参考．
代数综合题．
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