试题

题目：
（2006·哈尔滨）用换元法解方程：x+
2
x
-
3x
x2+2
=2．
答案
解：由x+
2
x
-
3x
x2+2
=2，
x2+2
x
-
3x
x2+2
=2
可设y=
x2+2
x
，则y-
3
y
=2，整理得
y2-2y-3=0，
解得y1=3，y2=-1．
当y=3时，
x2+2
x
=3，x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1．
当y=-1时，
x2+2
x
=-1，x2+x+2=0，△=1-8=-7＜0，此方程没有实数根．
经检验：x1=2，x2=1是原方程的根．
∴原方程的根是x1=2，x2=1．
解：由x+
2
x
-
3x
x2+2
=2，
x2+2
x
-
3x
x2+2
=2
可设y=
x2+2
x
，则y-
3
y
=2，整理得
y2-2y-3=0，
解得y1=3，y2=-1．
当y=3时，
x2+2
x
=3，x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1．
当y=-1时，
x2+2
x
=-1，x2+x+2=0，△=1-8=-7＜0，此方程没有实数根．
经检验：x1=2，x2=1是原方程的根．
∴原方程的根是x1=2，x2=1．
考点梳理
换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法．
本题考查用换元法解分式方程的能力．因为x+
2
x
=
x2+2
x
，且
x2+2
x
与
x
x2+2
互为倒数，所以可采用换元法解分式方程．
用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．
换元法．
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