试题

题目：
（2006·湖北）解方程：
x
x2+1
+
x2+1
x
=
5
2

答案
解：设
x
x2+1
=y，
则原方程可变形整理为：y+
1
y
=
5
2
，
整理得：2y2-5y+2=0．
解得：y1=2，y2=
1
2
．
当
x
x2+1
=2时，方程可整理为2x2-x+2=0，
因为△=b2-4ac=-15＜0，所以方程无解．
当
x
x2+1
=
1
2
时，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
∴原方程的根为x=1．
解：设
x
x2+1
=y，
则原方程可变形整理为：y+
1
y
=
5
2
，
整理得：2y2-5y+2=0．
解得：y1=2，y2=
1
2
．
当
x
x2+1
=2时，方程可整理为2x2-x+2=0，
因为△=b2-4ac=-15＜0，所以方程无解．
当
x
x2+1
=
1
2
时，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
∴原方程的根为x=1．
考点梳理
换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．
本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程因为
x
x2+1
与
x2+1
x
互为倒数，所以可设
x
x2+1
=y，则原方程可变形整理为y+
1
y
=
5
2
，再进一步解这个方程即可．
本题若用常规方法，则较繁琐，灵活应用换元法，则可化繁为简，因此解分式方程时，要根据方程特点选择合适的方法．
计算题；换元法．
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