试题

已知：等腰三角形ABC的三边a，b，c中c=3，且a，b是方程x²-（2k+1）x+2k=0的两个根，求k的值和这个三角形的周长．

解：（1）若c为底边，则a=b，且均为一元二次方程的实数根，故一元二次方程x²-（2k+1）x+2k=0有两个相等的实数根．
由b²-4ac=（2k+1）²-4·2k=0，得：k₁=k₂=

1

2

，
即a=b=1（不合，舍去）   a=b=1，c=3不能构成三角形；

（2）若c为腰，则a、b中必有一边与c相同，
不妨设a=c=3，则3是方程x²-（2k+1）x+2k=0的一根，
∴9-3（2k+1）+2k=0，∴k=

3

2

，
∴原方程为x²-4x+3=0，
∴x₁=3，x₂=1，
∴b=1，
 a=c=3，b=1能构成三角形，
∴△ABC的周长为3+3+1=7．
解：（1）若c为底边，则a=b，且均为一元二次方程的实数根，故一元二次方程x²-（2k+1）x+2k=0有两个相等的实数根．
由b²-4ac=（2k+1）²-4·2k=0，得：k₁=k₂=

1

2

，
即a=b=1（不合，舍去）   a=b=1，c=3不能构成三角形；

（2）若c为腰，则a、b中必有一边与c相同，
不妨设a=c=3，则3是方程x²-（2k+1）x+2k=0的一根，
∴9-3（2k+1）+2k=0，∴k=

3

2

，
∴原方程为x²-4x+3=0，
∴x₁=3，x₂=1，
∴b=1，
 a=c=3，b=1能构成三角形，
∴△ABC的周长为3+3+1=7．