试题

已知关于x的方程（a-1）x²-4x-1+2a=0的一个根为x=3．
（1）求a的值及方程的另一个根；
（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．

解：（1）由题设，得9（a-1）-4×3-1+2a=0．解得a=2．
所以原方程为x²-4x+3=0．
（x-1）（x-3）=0
∴x₁=1，x₂=3．
故它的另一个根是1．
（2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．
那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，因为1+1=2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1．
那么三角形的周长是7．
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．
解：（1）由题设，得9（a-1）-4×3-1+2a=0．解得a=2．
所以原方程为x²-4x+3=0．
（x-1）（x-3）=0
∴x₁=1，x₂=3．
故它的另一个根是1．
（2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．
那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，因为1+1=2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1．
那么三角形的周长是7．
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．