试题

题目：
图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第2次“生长”后变成图（3），经过第3次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”．已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律求：①经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为
2
2
，②经过第10次“生长”后，图中所有正方形的面积和为：
11
11
．
青果学院
答案
2

11

解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；
所有正方形的面积之和为2．
故答案为：2；
推而广之，“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）×1=11．
故答案为：11．
考点梳理
勾股定理的应用；正方形的性质．
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，进而得问题答案．
此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
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