试题

（2010·重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=

5

．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为

2

；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=1+

6

；⑤S_{正方形ABCD}=4+

6

．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③④
B．①②⑤
C．③④⑤
D．①③⑤

D
解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=

BP2-PE2

=

5-2

=

3

，
∴BF=EF=

6

2

，
故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=

2

，
又∵PB=

5

，
∴BE=

3

，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=

3

，
∴S_△ABP+S_△ADP=S_△ABD-S_△BDP=

1

2

S_{正方形ABCD}-

1

2

×DP×BE=

1

2

×（4+

6

）-

1

2

×

3

×

3

=

1

2

+

6

2

．
故此选项不正确．
⑤∵EF=BF=

6

2

，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB²=（AE+EF）²+BF²=4+

6

，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=4+

6

，
故此选项正确；
故选D．