试题

点P在锐角△ABC的边上运动，试确定点P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明你的结论．

解：当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时，
PA+PB+PC最小．
证明：如图，P为△ABC一边BC边，
上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点，
∵PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，PA＜QA，
∴PA+PB+PC＜QA+QB+QC
又设AC为△ABC最短边，作这边上的高BP′（如图），
可知BP'＞AP．
在BP′上截取B_oP′=AP，在BC上截取B′C=AC，
作B′P_o⊥AC．垂足为P_o，
连接B′B_o．
∵Rt△APC≌Rt△B'P_oC，
∴AP=B'P_o=B_oP'．
∵四边形B'B_oP'P_o是矩形，
∴∠B'B_oB=90°，
在△B'B_oB中，B'B＞BB_o，
∵P'A+P'B+P'C=BB_o+AP+AC，PA+PB+PC=BP'+AC+AP，
∴P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．

解：当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时，
PA+PB+PC最小．
证明：如图，P为△ABC一边BC边，
上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点，
∵PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，PA＜QA，
∴PA+PB+PC＜QA+QB+QC
又设AC为△ABC最短边，作这边上的高BP′（如图），
可知BP'＞AP．
在BP′上截取B_oP′=AP，在BC上截取B′C=AC，
作B′P_o⊥AC．垂足为P_o，
连接B′B_o．
∵Rt△APC≌Rt△B'P_oC，
∴AP=B'P_o=B_oP'．
∵四边形B'B_oP'P_o是矩形，
∴∠B'B_oB=90°，
在△B'B_oB中，B'B＞BB_o，
∵P'A+P'B+P'C=BB_o+AP+AC，PA+PB+PC=BP'+AC+AP，
∴P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．