试题

（2005·南通）如图，在平面直角坐标系中，已知A（-10，0），B（-8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O₁A₁P₁B₁．设四边形O₁A₁P₁B₁与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．
（1）求A₁、P₁两点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求周长L与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

解：（1）过点B作BQ⊥OA于点Q，（如图1）
∵点A坐标是（-10，0）
∴点A₁坐标为（-10+m，-3），OA=10
又∵点B坐标是（-8，6）
∴BQ=6，OQ=8
在Rt△OQB中，OB=

OQ2+BQ2

=

82+62

=10
∴OA=OB=10，tanα=

BQ

QO

=

6

8

=

3

4

由翻折的性质可知，PA=OA=10，PB=OB=10
∴四边形OAPB是菱形
∴PB∥AO
∴P点坐标为（-18，6）
∴P₁点坐标为（-18+m，3）；

（2）①当0＜m≤4时，（如图2），过点B₁作B₁Q₁⊥x轴于点Q₁，则B₁Q₁=6-3=3
设O₁B₁交x轴于点F
∵O₁B₁∥BO
∴∠α=∠β
在Rt△FQ₁B₁中，tanβ=

B1Q1

Q1F

∴

3

4

=

3

Q1F

∴Q₁F=4
∴B₁F=

32+42

=5
∵AQ=OA-OQ=10-8=2
∴AF=AQ+QQ₁+Q₁F=2+m+4=6+m
∴周长l=2（B₁F+AF）
=2（5+6+m）
=2m+22；
②当4＜m＜14时，（如图3）
设P₁A₁交x轴于点S，P₁B₁交OB于点H
由平移性质，得OH=B₁F=5
此时AS=m-4
∴OS=OA-AS
=10-（m-4）=14-m
∴周长L=2（OH+OS）
=2（5+14-m）
=-2m+38．
（说明：其他解法可参照给分）
解：（1）过点B作BQ⊥OA于点Q，（如图1）
∵点A坐标是（-10，0）
∴点A₁坐标为（-10+m，-3），OA=10
又∵点B坐标是（-8，6）
∴BQ=6，OQ=8
在Rt△OQB中，OB=

OQ2+BQ2

=

82+62

=10
∴OA=OB=10，tanα=

BQ

QO

=

6

8

=

3

4

由翻折的性质可知，PA=OA=10，PB=OB=10
∴四边形OAPB是菱形
∴PB∥AO
∴P点坐标为（-18，6）
∴P₁点坐标为（-18+m，3）；

（2）①当0＜m≤4时，（如图2），过点B₁作B₁Q₁⊥x轴于点Q₁，则B₁Q₁=6-3=3
设O₁B₁交x轴于点F
∵O₁B₁∥BO
∴∠α=∠β
在Rt△FQ₁B₁中，tanβ=

B1Q1

Q1F

∴

3

4

=

3

Q1F

∴Q₁F=4
∴B₁F=

32+42

=5
∵AQ=OA-OQ=10-8=2
∴AF=AQ+QQ₁+Q₁F=2+m+4=6+m
∴周长l=2（B₁F+AF）
=2（5+6+m）
=2m+22；
②当4＜m＜14时，（如图3）
设P₁A₁交x轴于点S，P₁B₁交OB于点H
由平移性质，得OH=B₁F=5
此时AS=m-4
∴OS=OA-AS
=10-（m-4）=14-m
∴周长L=2（OH+OS）
=2（5+14-m）
=-2m+38．
（说明：其他解法可参照给分）