试题

题目：

青果学院

（2013·历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p₁，p₂，…，p₂₀₁₃，过p_i（i=1，2，…，2013）作P_iE_i⊥AB于E_i，P_iF_i⊥AD于F_i，则P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值为

2013

2013

．

答案

2013

解：

青果学院

连接P₁A，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=

1

2

AC=

1

2

×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S_△ABD=S △ABP1+S △ADP1，
∴

1

2

×BD×AO=

1

2

AB×P₁E₁+

1

2

×AD×P₁F₁，
∴P₁E₁+P₁F₁=AO=1，
同理P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，
∴P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值为2013×1=2013，
故答案为：2013．

考点梳理

菱形的性质．

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