试题

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8
（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．

解：（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC-CH=x-4，在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，
∴8²+（x-4）²=x²，解得x=10，
∴菱形周长为40．

（2）∵AH=8，CH=4，
∴AC=

AH2+CH2

=4

5

，
∴CO=AO=

1

2

AC=2

5

，
∵BC=10，CO=2

5

，
∴BO=

BC2-CO2

=4

5

∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，
∴△BHE∽△BOC，
∴

BH

BO

=

EH

CO

，
∴

6

4 5

=

EG

2 5

，
∴EH=3，
∴AE=AH-EH=8-3=5，
∴OE=

AE2-AO2

=

5

解：（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC-CH=x-4，在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，
∴8²+（x-4）²=x²，解得x=10，
∴菱形周长为40．

（2）∵AH=8，CH=4，
∴AC=

AH2+CH2

=4

5

，
∴CO=AO=

1

2

AC=2

5

，
∵BC=10，CO=2

5

，
∴BO=

BC2-CO2

=4

5

∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，
∴△BHE∽△BOC，
∴

BH

BO

=

EH

CO

，
∴

6

4 5

=

EG

2 5

，
∴EH=3，
∴AE=AH-EH=8-3=5，
∴OE=

AE2-AO2

=

5