试题

如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，P、Q同时从A点出发，点P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动．当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为ycm²（规定：点和线段是面积为0的三角形）．
（1）当x=秒时，P和Q相遇；
（2）当x=秒时，△APQ是等腰直角三角形；
（3）当x=秒时，△APQ是等边三角形；
（4）求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=8cm，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
设点P，Q从出发到相遇所用的时间是x秒．
根据题意，得x+2x=24，
解得x=8秒．
即当x=8秒时，P和Q相遇；

（2）若△APQ是等腰直角三角形，则此时点P在AC上，点Q在BC上，如图．
∵△APQ是等腰直角三角形，∴∠APQ=90°，∴∠CPQ=90°．
∵AP=x，∴CP=AC-AP=8-x．
在△CPQ中，∵∠CPQ=90°，∠PCQ=60°，∴∠CQP=30°，
∴PQ=

3

CP=

3

（8-x）．
∵△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°，∴AP=PQ，
即x=

3

（8-x），
解得x=12-4

3

．
故当x=（12-4

3

）秒时，△APQ是等腰直角三角形；

（3）若△APQ是等边三角形，则此时点P在BC上，点Q在CD上，如图．
且△ADQ≌△ACP，则CP=DQ，
即x-8=24-2x，解得x=

32

3

．
故当x=

32

3

秒时，△APQ是等边三角形；

（4）分三种情况讨论：
①当0≤x≤4时，
y=S_△AP1Q1=

1

2

AP₁×AQ₁×sin60°=

1

2

x·2x×

3

2

=

3

2

x²，
根据二次函数的性质，可知当x=4时，y有最大值

3

2

×16=8

3

；
②当4＜x≤8时，
y=S_△AP2Q2=

1

2

AP₂×CQ₂sin60°
=

1

2

x（16-2x）×

3

2

=-

3

2

x²+4

3

x，
根据二次函数的性质，可知当4＜x≤8时，y无最大值；
③当8＜x≤12时，设P₃Q₃与AC交于点O．
过Q₃作Q₃E∥CB，则△CQ₃E为等边三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-16．
∵Q₃E∥CB，
∴△COP₃∽△EOQ₃，
∴OC：OE=CP₃：EQ₃=（x-8）：（2x-16）=1：2，
∴OC=

1

3

CE=

1

3

（2x-16）．
∴y=S_△AOP3=S_△ACP3-S_△COP3=

1

2

CP₃×ACsin60°-

1

2

OC×CP₃sin60°
=

1

2

（x-8）×8×

3

2

-

1

2

×

1

3

（2x-16）（x-8）×

3

2

=-

3

6

x²+

14 3

3

x-

80 3

3

，
根据二次函数的性质，可知当x=12时，y有最大值-

3

6

×12²+

14 3

3

×12-

80 3

3

=

16 3

3

．
综上可知，当x=4时，y有最大值

3

2

×16=8

3

．
故答案为8，（12-4

3

），

32

3

．