试题

题目:
青果学院如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°.连结对角线AC,以AC为边作第一个菱形ACC1D1,使∠D1 AC=60°;连结AC1,再以AC1为边作第二个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…,再以AC2为边作第三个菱形AC2C3D3,使∠D3AC2=60°;…,依此类推.
(1)求第一个菱形ACC1D1的边AD1长是多少?请说明理由.
(2)求第三个菱形AC2C3D3的边AD3长是多少?请说明理由.
(3)按此规律请直接写出第n个菱形的边长.
答案
青果学院解:(1)如图,连接BD,与AC相交于O,
则AC⊥BD,AC=2AO,
∵∠DAB=60°,
∴∠BAC=
1
2
∠DAB=
1
2
×60°=30°,
∵AB=1,
∴AO=1×
3
2
=
3
2

∴AC=2AO=2×
3
2
=
3

故第一个菱形ACC1D1的边AD1长是
3


(2)同理可求,第二个菱形AC1C2D2的边AD2长是
3
×
3
=3,
第三个菱形AC2C3D3的边AD3长是3
3


(3)第n个菱形的边长是(
3
n
青果学院解:(1)如图,连接BD,与AC相交于O,
则AC⊥BD,AC=2AO,
∵∠DAB=60°,
∴∠BAC=
1
2
∠DAB=
1
2
×60°=30°,
∵AB=1,
∴AO=1×
3
2
=
3
2

∴AC=2AO=2×
3
2
=
3

故第一个菱形ACC1D1的边AD1长是
3


(2)同理可求,第二个菱形AC1C2D2的边AD2长是
3
×
3
=3,
第三个菱形AC2C3D3的边AD3长是3
3


(3)第n个菱形的边长是(
3
n
考点梳理
菱形的性质.
(1)连接BD,与AC相交于O,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,AC=2AO,对角线平分一组对角可得∠BAC=30°,然后解直角三角形求出AO,即可得到第一个菱形的边长;
(2)同理求出第二个菱形的边长,第三个菱形的边长;
(3)根据求解,后一个菱形的边长是前一个菱形的对角线,即后一个菱形的边长是前一个菱形的边长的
3
倍,写出即可.
本题考查了菱形的性质,解直角三角形,主要利用了菱形的对角线互相垂直平分,对角线平分一组对角的性质,熟记性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
规律型.
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