试题

题目：
阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB=AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD的延长线于M，N，则
1
AM
+
1
AN
=
1
AC

（1）试证明：
1
AM
+
1
AN
=
1
AC
；
青果学院
（2）如图，0为直线AB上一点，0C，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB上，0P1=r1，0P2=r2，OP3=r3，r与r′分别满足
1
r
=
1
r1
+
1
r2
，
1
r
=
1
r1
+
1
r2
+
1
r3
，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．
青果学院
答案
青果学院证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴
AB
AM
=
CN
MN
，（1分）
又∵CD∥AM，
∴
AD
AN
=
CM
MN
，（2分）
∴
AB
AM
+
AD
AN
=
CN
MN
+
CM
MN
=1，（3分）
又∵AB=AD=AC，青果学院
∴
1
AM
+
1
AN
=
1
AC
；（4分）

（2）连接P1，P2交OC于点E，则0E=r，（6分）
连接EP3交OD于点F，则0F=-r’．（8分）
青果学院证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴
AB
AM
=
CN
MN
，（1分）
又∵CD∥AM，
∴
AD
AN
=
CM
MN
，（2分）
∴
AB
AM
+
AD
AN
=
CN
MN
+
CM
MN
=1，（3分）
又∵AB=AD=AC，青果学院
∴
1
AM
+
1
AN
=
1
AC
；（4分）

（2）连接P1，P2交OC于点E，则0E=r，（6分）
连接EP3交OD于点F，则0F=-r’．（8分）
考点梳理
菱形的性质．
（1）要证明
1
AM
+
1
AN
=
1
AC
即求证：
AC
AM
+
AC
AN
=1，根据AB=AC得到AC等于菱形的边长，根据
AC
AM
=
CD
AM
=
CN
MN
，同理可得
AC
AN
=
MC
MN
，就可以证出所求结论；
（2）连接P1，P2交OC于点E，则0E=r，连接EP3交OD于点F，则0F=-r′．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据这个定理可以把线段的比进行转化．
阅读型．
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