试题

如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当四边形BCEF是菱形，求AF的长．

（1）证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

AB=DE ∠A=∠D AC=DF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG=FG，BE⊥AC，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=

AB2+BC2

=10，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴

BC

AC

=

CG

BC

，
即

6

10

=

CG

6

，
∴CG=3.6，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=7.2，
∴AF=AC-FC=10-7.2=2.8．
（1）证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

AB=DE ∠A=∠D AC=DF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG=FG，BE⊥AC，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=

AB2+BC2

=10，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴

BC

AC

=

CG

BC

，
即

6

10

=

CG

6

，
∴CG=3.6，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=7.2，
∴AF=AC-FC=10-7.2=2.8．