试题

题目：
（1）如图1，在△ABC中，若E、F分别是AB、BC的中点，则EF与AC的数量关系和位置关系分别为：
EF=
1
2
AC，EF∥AC
EF=
1
2
AC，EF∥AC
；
（2）如图2，任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，则四边形EFGH的形状是
平行四边形
平行四边形
，并说明理由；
（3）若四边形ABCD是矩形，则连接其四边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是
菱形
菱形
，若四边形ABCD是菱形，连接其四边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是
矩形
矩形
；
（4）图2中，若四边形．EFGH是矩形，则四边形ABCD应满足的条件是
对角线互相垂直
对角线互相垂直
．
青果学院
答案
EF=
1
2
AC，EF∥AC

平行四边形

菱形

矩形

对角线互相垂直

青果学院解：（1）EF与AC的数量关系和位置关系分别为：EF=
1
2
AC，EF∥AC；

（2）四边形EFGH的形状是平行四边形．
证明：如图，连接AC，BD．
∵E、F、G、H分别是四条边的中点，
∴EH=
1
2
BD=FG，EF=
1
2
AC=HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．

（3）当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH的形状是菱形；
当四边形ABCD是菱形时，四边形EFGH的形状是矩形；

（4）图2中，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD应满足的条件是对角线互相垂直．
考点梳理
平行四边形的性质；菱形的性质．
（1）根据三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半，进行填空即可．
（2）根据三角形的中位线的性质，结合对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断．
（3）矩形的对角线相等，可得平行四边形的一组邻边相等，所以四边形EFGH的形状是菱形；若四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直，可证平行四边形的一个角是直角，所以四边形EFGH的形状是矩形．
（4）矩形是一个角是直角的平行四边形，所以四边形ABCD应满足的条件是对角线互相垂直．
本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形的中位线的性质来解决有关四边形的形状的问题．
证明题；探究型．
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