试题

如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．
（1）求证：DE=BF；
（2）连接AF，BE，试判断四边形AFBE的形状并说明理由．

证明：（1）证法一：如图：
记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．
由（1）证得四边形ABCD为菱形，
所以对角线AC平分∠A，
即∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG=AG，
∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6分）
又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，
∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．
又∵∠BMF=∠AME，
∴△BMF≌△AME．
∴BF=AE．
∴BF=DE．（8分）
证法二：如图：连接BD
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE．（8分）

（2）∵AD∥BC，AE=ED=BF（已知），
∴四边形AEBF为平行四边形．
证明：（1）证法一：如图：
记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．
由（1）证得四边形ABCD为菱形，
所以对角线AC平分∠A，
即∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG=AG，
∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6分）
又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，
∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．
又∵∠BMF=∠AME，
∴△BMF≌△AME．
∴BF=AE．
∴BF=DE．（8分）
证法二：如图：连接BD
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE．（8分）

（2）∵AD∥BC，AE=ED=BF（已知），
∴四边形AEBF为平行四边形．