试题

如图，已知CE、CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，EF∥BC，EF交AC于D．
（1）判断△ECF是什么三角形，并说明理由；
（2）试说明CD是△ECF的中线；
（3）请探究∠ACB等于多少度时，CF=

1

2

EF．

解：（1）△ECF为直角三角形．利用如下：
∵CE、CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB，∠ACF=

1

2

∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACG），
而∠ACB+∠ACG=180°，
∴∠ACE+∠ACF=

1

2

×180°=90°，
即∠ECF=90°，
∴△ECF为直角三角形；

（2）∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ECD，
而EF∥BG，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
又∵CF平分∠ACG，
∴∠DCF=∠GCF，
而EF∥BG，
∴∠GCF=∠F，
∴∠F=∠DCF，
∴DF=DC，
∴DE=DF，
∴CD是△ECF的中线；

（3）在Rt△CEF中，CF=

1

2

EF，
∴∠FEC=30°，
∴∠BEC=30°，
∴∠ACB=2∠ECB=60°，
即∠ACB等于60度时，CF=

1

2

EF．
解：（1）△ECF为直角三角形．利用如下：
∵CE、CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB，∠ACF=

1

2

∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACG），
而∠ACB+∠ACG=180°，
∴∠ACE+∠ACF=

1

2

×180°=90°，
即∠ECF=90°，
∴△ECF为直角三角形；

（2）∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ECD，
而EF∥BG，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
又∵CF平分∠ACG，
∴∠DCF=∠GCF，
而EF∥BG，
∴∠GCF=∠F，
∴∠F=∠DCF，
∴DF=DC，
∴DE=DF，
∴CD是△ECF的中线；

（3）在Rt△CEF中，CF=

1

2

EF，
∴∠FEC=30°，
∴∠BEC=30°，
∴∠ACB=2∠ECB=60°，
即∠ACB等于60度时，CF=

1

2

EF．