试题

如图，等腰△ABC中顶角∠A=120°，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点E、F．求证：BF=2CF．

证明：连接AF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°（三角形内角和定理），
∵EF是AC的垂直平分线（已知），
∴AF=CF（垂直平分线的性质），
∴∠1=∠C=30°（等边对等角），
∴∠2=∠BAC-∠1=90°，
在Rt△BAF中AF=

1

2

BF（Rt△中30°角所对的直角边是斜边的一半），
∵AF=CF（已证），
∴

1

2

BF=CF（等量代换），
即BF=2CF．
证明：连接AF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°（三角形内角和定理），
∵EF是AC的垂直平分线（已知），
∴AF=CF（垂直平分线的性质），
∴∠1=∠C=30°（等边对等角），
∴∠2=∠BAC-∠1=90°，
在Rt△BAF中AF=

1

2

BF（Rt△中30°角所对的直角边是斜边的一半），
∵AF=CF（已证），
∴

1

2

BF=CF（等量代换），
即BF=2CF．