试题

我们知道命题“在直角三角形中，如果有一个内角为30°，那么这个30°的内角所对的直角边等于斜边的一半．”是真命题．
（1）请写出上面命题的逆命题：在直角三角形中，如果，那么．
（2）你写出的逆命题是真命题吗？如果是，请写出证明过程，如若不是，请举出反例．（书写证明过程前，要结合图形写出已知、求证；若是举反例，也要结合反例图作出说明）

解：（1）原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的内角等于30°；
故答案为有一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的内角等于30°；

（2）逆命题是真命题．
已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

1

2

AB，如图，
求证：∠A=30°．
证明：取AB的中点D，连结DC，
则DC=DB=DA，
∵BC=

1

2

AB，
∴DB=DC=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°．