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我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2 的值．
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我们运用图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4（
ab），即（a+b）2=c2+4（1 2
ab），由此推导出一个重要的结论，a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．1 2 
（1）请你用图（II）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）
（2）请你用图（III）提供的图形组合成一个新的图形，使组合成的图形的面积表达式能够验证（x+y）2=x2+2xy+y2．画出图形并做适当标注．
（3）请你自己设计一个组合图形，使它的面积能验证：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2，画出图形并做适当标注． -
通过前面的学习，我们知道利用面积的不同表示方法可以写出一个代数恒等式，比如图1的图形，我们可以把它看成长为（b+c），宽为a的长方形，则图形的面积为a（b+c）a（b+c），我们也可以把它看成是两个长方形组成的图形，则此时，它的面积可以表示为ab+acab+ac，所以我们可以得到等式a（b+c）=ab+aca（b+c）=ab+ac
（1）图2的图形蕴涵着一个著名定理，请你运用面积不同的表达方式推导出这个定理．
（2）在图3中，试画一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）2=a2+2ab+b2（把图形作在方格中） -
你能利用右图证勾股定理吗？
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如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
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古埃及人用下面的方法得到直角三角形，把一根长绳打上等距离的13个结（12段），然后用桩钉钉成一个三角形，如图1，其中∠C便是直角．
（1）请你选择古埃及人得到直角三角形这种方法的理由BB（填A或B）
A．勾股定理：在直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方
B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，那么我们就称 a、b、c是一组勾股数，请你写出一组勾股数（6，8，10）（6，8，10）
（3）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．） -
如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．
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奥地利数学家皮克发现了一个计算点阵中多边形面积的公式：S=a+
b-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积，请你根据下图，利用皮克公式探索一下勾股定理，看看是不是很简单．1 2 
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4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？
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几千年来，人们给出勾股定理各种证法，有人统计，现在世界上已找到400多种证明方法，古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯在客厅品茶，不小心推倒了桌上一个火柴盒，就在这一瞬间，他双眼放光，兴奋不已，从此毕达哥拉斯定理（现教材中勾股定理）诞生了．其证法是：如图，
设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒移推至A‵B‵C‵D的位置，D不动，若设AB=a、BC=b、DB=c．则梯形A‵B‵BC的面积S2梯形A‵B‵BC=
（a+b）（a+b）=1 2
（a+b）2，且又知梯形S梯形A‵B‵BC=S△ABD+S△DBB‵+S△BCD=1 2
ab+1 2
c2+1 2
ab，故有1 2
（a+b）2=1 2
ab+1 2
c2+1 2
ab，则a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2．1 2
请你再写出一种证明方法：