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如图，在一个5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，M、N是两个格点，在格点上是否存在点P，使△PMN的面积等于1？若存在，在图中标出它的位置；若不存在，请说明理由．
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九图，有A型、了型、C型三种不同类型的纸板，其中A型是边长为a的正方形，了型是长为a宽为了的长方形，C型是边长为了的正方形．
（他）若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为（a+了）（a+2了），则需要A型纸板他他张，了型纸板九九张，C型纸板22张；
（2）若现有A型纸板他张，了型纸板九张，C型纸板九张，共7张．从这7张纸板中拿掉一张，使得剩下的纸板在不重叠的情况下能拼成一个长方形．写出所有的方案，并画出示意图予以说明． -
如图所示，A、B两村庄位于河流（直线L）的两侧．
（1）为促进两村民相互交往，A、B两村村委会商议，在河上架一座桥，然后各村都修一条通往桥的公路．请问桥架在何处，才能使修路和架桥总造价最低？（要求：在河上标出架桥位置，并写出所依据的数学原理．）
（2）A村决定，把河流L中的水引到村子，以方便村民用水和灌溉农田．怎样修建引水渠，才能使引水渠最短？请你帮助A村画出饮水线路图，并写出所依据的数学原理． -
有两条交叉公路AB和CD交于点C，在公路CD旁有甲、乙两个村庄（可近似看作甲、乙两个村庄在公路CD上），如图所示，两村准备合资在两条公路之间的空地上建一个食品加工厂，要求加工厂到两条公路和到两个村的距离都相等．
（1）在图中确定要建的食品加工厂的位置；（保留作图痕迹，不必写作法）
（2）建好食品加工厂以后，又修了一条食品加工厂通向甲村的公路，该公路恰好与公路AB平行，已知交叉口C与甲村之间的公路长2km，甲、乙两村相距2km，求食品加工厂到公路AB的距离．（保留根号） -
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，请画一线段，把这个三角形分成面积相等的两部分（用尺规作图，不要求写作法、证明，保留作图痕迹）
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有一种古典智力玩具“T”字之迷，即用一长方形木板，按如图1的方式分割成四块，制成一副“四巧板”，每块板除直角外只有45°和135°的角，利用它可以拼成许多有趣、漂亮的图案，如拼成字母“L”（图2），数字“1”（图3）等．如果每块板保持图1的标号不变，请你解决下面的问题：
（1）在图2中适当画线，找出四块板的位置填上标号，并在你所画的线中找出两组平行的线段；
（2）在图3中适当画线，找出四块板的位置填上标号，并在你所画的线中找出两组垂直的线段；
（3）请你利用图1的四巧板再拼出一个其他的图案，并写出所拼图案的寓意．
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由8根火柴棒搭成1个正方形（如图），你能移动火柴棒（不减少火柴棒总数），使得新图形的面积为这个正方形面积的一半吗？
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如图所示，要把水渠中的水引到水池中，水池在C处，在渠岸AB的何处开挖才能使所挖水沟最短？
- 在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都是等腰三角形，这五个点应该怎样画？
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如图，豫东有四个村庄A、B、C、D．现在要建造一个水塔P．请回答水塔P应建在何位置，才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和理由．