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下列0案是晋商大院窗格的一部分．其中，“o”代表窗纸上所贴的剪纸．
探索并回答下列问题：
（1）第6个0案中所贴剪纸“o”的个数是1010；
（1）第n个0案中所贴剪纸“o”的个数是3n+13n+1；
（3）是否存在一个0案，其上所贴剪纸“o”的个数为1011个？若存在，指出是第几个；若不存在，请说明理由． -
如图，第1个图形是一个点，第2个图形是排成形如三角形的三个点，按三角形每条边上的点的个数依次多1，从左到右排列…
，请回答下列问题
（1）第5个图形中点的个数是多少？
（2）第n个图形中点的个数是多少？（用含n的代数式表示）
（3）由120个点组成的图形是左起第几个图？ -
一个农民栽苹果树，他将树栽成一个正方形．为了给苹果树挡风，他在果园的四周栽上松树（×代表松树，○代表苹果树），如图所示．
由图示和下表你可以获得一个规律，并且栽任何行（n）苹果树都可以按照这个规律栽苹果树和松树．
（1）将上面表格补充完整；苹果树的行数 苹果树的棵树 松树的棵树 1 1 8 2 4 3 9 4 5 n
（2）这个农民要扩大果园，栽上足够多行的苹果树，那么苹果树和松树哪种树的棵数增加得快？请说明理由． -
如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边两个点，第三层每边三个点，以此类推．
（1）填写下表：
（2）写出第n层对应的点数（n≥2）；
（3）如果某层一共有72个点，请你求出对应的层数．
层数 1 2 3 4 5 该层对应的点数 1 6 12 18182424 -
现用a根长度相同左火柴棒，按1图①摆放时可摆成m个正方形，按1图②摆放时可摆成的n个正方形．
（1）写出m与n之间左关系式；
（的）当a=37时，若按图①摆放可以摆出b几个正方形？若按图②摆放可以摆出b几个正方形？
（3）用a（a＞37）根火柴棒摆成图①左形状后，若再拿这a根火柴棒也可以摆成图②左形状，求a左值（直接写出一个值即可）．
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如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作：
第一次操作：依次连接这个三角形三边的中点，构成四个三角形，挖去中间一个三角形，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；
第二次操作：分别连接剩余的3个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“他”；
第三次操作：分别连接剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；如此下去．
（1）第三次操作要用99张数字标签“3”；
（他）求第六次操作后挖去的所有三角形的个数和；
（3）如果一直操作下去，挖去的所有三角形的面积和将怎样变化？ -
已知平面内有n（n≥3，且n为整数）个点，其中无任何三点在同一条直线上．过其中任意两点画线段，可得an条线段；以其中任意三点为顶点画三角形，可得bn个三角形．
（1）请你依照题意，在图③、图④中完成作图；
（2）观察图形，完成下表：
（3）照此规律，an=n 3 4 5 6 示意图 图① 图② 图③ 图④ an 3 6 bn 1 4 n(n-1) 2 ；bn-bn-1=n(n-1) 2 (n-1)(n-2) 2 ．(n-1)(n-2) 2 -
图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样相同的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：
（1）按照要求填表：
写出当n=4时，s=n 1 2 3 4 … s 1 3 6 … 1010；n=6时，s=2121；第n层时，s=n(n+1) 2 （用含n的式子表示）．n(n+1) 2
（2）当s=55时，求n的值． -
探索规律问题：
用同样大小的黑色棋子按图中所示的方式摆图形，观察图中棋子的摆放规律，解答下面的问题：
（1）第4个图形需棋子1212枚；
（2）第5个图形需棋子1515枚；
（3）猜想第n个图形需棋子3n3n枚（用含n的代数式表示，n为正整数）；
（4）利用你猜想的结论，计算第200个图形需棋子的枚数． -
如图，以一根火柴棍为一边，用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形．
（1）请观察图形并填写以下表格：
（2）如果图形中含有2013个正方形，需要正方形的个数 1 2 3 … n 火柴棍的根数 44771010… 3n+13n+160406040根火柴棍．