数学
计算：（2x+y-2）
2
．
已知
a+
1
a
=
5
，则
a-
1
a
=
±1
±1
．
若x+
1
x
=2，则x
2
+
1
x
2
=
2
2
，x
3
+
1
x
3
=
2
2
，x
4
+
1
x
4
=
2
2
．任意正整数n，猜想：
x
n
+
1
x
n
=
2
2
．
（1）
4
5
+
45
-
8
+4
2
（2）
2
12
×
1
4
3
÷5
2
（3）已知x=
3
+1
，y=
3
-1
求x
2
+2xy+y
2
的值．
按照以下给出的思路和步骤填空，最终完成关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导．
解：由ax
2
+bx+c=0（a≠0）
得x
2
+
b
a
x+
c
a
b
a
x+
c
a
=0
移项 x
2
+
b
a
x
=
-
c
a
-
c
a
，
配方得 x
2
+2·x
b
2a
b
2a
+
b
2
4
a
2
b
2
4
a
2
=
b
2
4
a
2
-
c
a
b
2
4
a
2
-
c
a
即（x+
b
2a
）
2
=
b
2
-4ac
4
a
2
b
2
-4ac
4
a
2
因为a≠0，所以4a
2
＞0，当b
2
-4ac≥0时，直接开平方，得
x+
b
2a
=±
b
2
-4ac
2a
x+
b
2a
=±
b
2
-4ac
2a
，
即 x=
-b±
b
2
-4ac
2a
-b±
b
2
-4ac
2a
．
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的求根公式：
x=
-b±
b
2
-4ac
2a
x=
-b±
b
2
-4ac
2a
由方程x
2
+4x+4=0的根为x
1
=x
2
=-2，可得x
1
+x
2
=-4，x
1
．x
2
=4，则
（1）方程x
2
-5x+6=0的根为x
1
=
2
2
，x
2
=
3
3
，x
1
+x
2
=
5
5
，x
1
．x
2
=
6
6
；
（2）x
1
，x
2
是方程ax
2
+bx+c=0的两个根，则x
1
+x
2
=
-
b
a
-
b
a
，x
1
．x
2
=
c
a
c
a
；
（3）已知x
1
，x
2
（其中x
1
＞x
2
）是方程2x
2
+5x-2=0的两个根，由（2）的结论，不解方程求①x
1
2
+x
2
2
，②x
1
-x
2
的值．
①
25
-
3
-8
+2
1
4
+
|
2
-
3
|
②简便计算：2001
2
．
若a+b=10，ab=6，求：a
2
+b
2
的值．
已知a
2
+b
2
=25，a+b=7，且a＞b，求a-b的值．
已知：x
2
-5x+1=0，x
2
+
1
x
2
=
23
23
（写出过程）
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