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几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是5 ；5
（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值是23 2；3
（3）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值． -
如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
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如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
如图2，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为3 ．3 
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如图，在四边形ABCD中，P为BC的中点，试在CD边上找一点Q，使△APQ的周长最小．
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（1）已知：如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的两个定点，在BC上找一点E，使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法；
（2）已知：如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法；
（3）已知：如图3，在△ABC中，是否存在D、E、F分别在AB、BC、CA，且△DEF的周长最小？若存在请作出相应图形并写出作法；若不存在，请说明理由．
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如图，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB且AD=3，过B作BE⊥AB且BE=1，连接DC、EC，若AB=5，设AC
=x．
（1）DC+EC的长为
+32+x2 12+(5-x)2 （用含x的式子表示，不必化简）；
+32+x2 12+(5-x)2
（2）当点C的位置满足AC=15 4 AC=时，DC+EC的长最小，最小值是15 4 41 ；41
（3）根据以上结论，你能通过构图求出
+x2+4
的最小值吗？请画出你的示意图，适当加以说明并求出此最小值．(4-x)2+25 -
在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两厂到货场C的距离和最小，试在图上作出C．（不用圆规）
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如图：A为草地，B为帐篷．牧马人在A处牧马，先牵马到河边饮水，然后再回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．
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已知点P是∠AOB内一点，M是OA上一动点，N是OB上一动点，请通过作图找出点M和点N，使△PMN的周长最小．
①写出作法；
②保留作图痕迹． -
在直线m上确定一点P，使得PA+PB最小．
