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如图，直线l是一条河，A、B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A、B两地供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点（不写作法，不要求证明，保留作图痕迹）
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【观察发现】
（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为23 2．3
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是55．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是5 2 2 ；5 2 2
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．
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如图，一只蚂蚁从长方体水池外一点A爬到同一面上的点B去寻找食物，但需要先到池边去喝水．已知点A到池边的距离AC等于点B到池边的距离BD，若蚂蚁要爬行的是最短路线，那么到CD中点处喝水是否最近？说明理由．
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如图在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是4+23 4+2．3 -
（1）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？
（2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若y=
+x2+1
，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．(9-x)2+4 -
如图，已知牧马营地在P处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线．
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某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为10 ；10
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式
+x2+1
（0≤x≤4）的最小值．(4-x)2+4 -
（1）如图，已知：线段r和∠ACB=60°，求作一⊙O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r；（不写作法，要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
（2）如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．（不写作法，要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
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问题背景：已知x是实数，求y=
+x2+4
的最小值．要解决这个问题需现判断出0＜x＜12，继而联想到构造以边长为2+3和12为边的矩形，找出等于(12-x)2+9
和x2+22
的线段，再比较(12-x)2+32
和x2+22
和矩形对角线的大小．(12-x)2+32
解：构造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=12-x，PB= x2+22 PD= (12-x)2+32 BD=
=13122+52 ∵PB+PD≥BD=13 ∴y的最小值是13.
（1）我们把上述求最值问题的方法叫做构图法．请仿造上述方法求y=
+1+x2
的最小值．25+(8-x)2
探索创新：
（2）已知a，b，c，d是正实数且a+b+c+d=1，试运用构图法求
+a2+b2
+b2+c2
+c2+d2
的最小值．d2+a2 -
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是210 2．10