数学
(1997·陕西)如图所示的抛物线是把y=-x
2
经过平移而得到的.这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A,顶点为P;
①当∠OPA=90°时,求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式;
②求如图所示的抛物线对应的二次函数在
-
1
2
≤x≤
1
2
时的最大值和最小值.
(2013·南岗区一模)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,且AO=8,BO=6,P是线段AB上一个动点,PE⊥A0于E,PF⊥B0于F.设
PE=x,矩形PFOE的面积为S
(1)求出S与x的函数关系式;
(2)当x为何值时,矩形PFOE的面积S最大?最大面积是多少?
(2013·河南模拟)如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系,请证明你的猜想;
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为(1)中所猜想的BQ与AP的数量关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)若AC=BC=4,设△EFP平移的距离为x,当0≤x≤8时,△EFP与△ABC重叠部分的面积为S,请写出S与x之间的函数关系式,并求出最大值.
(2012·和平区模拟)如图,线段EF=10,在EF上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形
MFGN,使MF=2MN.设MN=x,当x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
(2011·玄武区二模)已知抛物线y=-x
2
+bx+c的图象过点(2,0),顶点横坐标为-1,(如图)
(1)求b、c的值;
(2)求y的最大值;
(3)直接写出当y>0时,x的取值范围.
(2011·河西区模拟)已知二次函数y=x
2
+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
(3)若A(m,y
1
),B(m+2,y
2
)两点都在该函数的图象上,计算当m取何值时,y
1
>y
2
?
(2010·广州一模)已知:在四边形ABCD中,AB=4cm,点E,F,G,H分别按A→B,B→C,C→D,D→A的方向同时出发,以1cm/秒的速度匀速运动.在运动过程中,设四边形EFGH的面积为S平方厘米,运动时间为t秒(0≤t≤4).
(1)当四边形ABCD为正方形时,如图1所示,求证:四边形EFGH是正方形;
(2)当四边形ABCD为菱形,且∠A=30°时,如图3所示.在运动过程中,四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
写出二次函数y=-x
2
-4x-6的图象的顶点坐标和对称轴的位置,并求出它的最大值或最小值.
四边形OABC是等腰梯形,OA∥BC,在建立如图所示的平面直角坐标系中,A(4,0),B(3,2),点M从O点出发沿折线段OA-AB以每秒2个单位长的速度向终点
B运动;同时,点N从B点出发沿折线段BC-CO以每秒1个单位长的速度向终点O运动、设运动时间为t秒.
(1)当点M运动到A点时,N点距原点O的距离是多少?当点M运动到AB上(不含A点)时,连接MN,t为何值时能使四边形BCNM为梯形?
(2)0≤t<2时,过点N作NP⊥x轴于P点,连接AC交NP于Q,连接MQ
①求△AMQ的面积S与时间t的函数关系式(不必写出t的取值范围)
②当t取何值时,△AMQ的面积最大?最大值为多少?
③当△AMQ的面积达到最大时,其是否为等腰三角形?请说明理由.
如图,已知抛物线过A、B、C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),且3AB=4OC.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的关系式,并求出这个二次函数的最大值.
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