数学

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（2013·徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE·BC=BD·AC；
（2）如果S_△ADE=3，S_△BDE=2，DE=6，求BC的长．

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（2013·徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；
（2）如果AD²=AB·AF，求证：CM·AB=DM·CN．

（2013·新华区一模）已知：等边△ABC的面积为S，D_n，E_n，F_n（n为正整数0分别是AB，BC，CA边上的点，连接D_nE_n，E_nF_n，F_nD_n，可得△D_nE_nF_n．
如图1，当AD₁=BE₁=CF₁=

AB时，我们容易得到△D₁E₁F₁是等边三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=

S．
探究论证：
（1）如图2，当AD₂=BE₂=CF₂=

AB时，
①△D₂E₂F₂是

三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△AD2F2=

（用含S的代数式表示）；
③请说明以上结论的正确性．
猜想发现：
（2）如图3，当AD_n=BE_n=CF_n=

AB时，
①△D_nE_nF_n是

三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△ADnFn=

（用含S的代数式表示）．
实际应用：
（3）学校有一块面积为49m²的等边△ABC空地，按如图4所示分割，其中AD₆=BE₆=CF₆=

AB，计划在△D₆E₆F₆内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉（即阴影部分）的面积为多少m²？

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（2013·莘县二模）如图，AB为⊙O的直径，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在

上取一点D，直线CD、ED分别交直线AB于点F和M．
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）已知OM=1，MF=3，请求出⊙O的半径并计算tan∠DMF的值．

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（2013·西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AE=6，sin∠CFD=

，求EB的长．

（2013·塘沽区二模）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．

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（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACB；
（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求

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（2013·松江区模拟）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．
（1）求证：EF∥AB；
（2）联结DE，当∠ADE=∠C时，求证：AB=

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（2013·松江区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，点D在边AC上，△ABD沿BD翻折，点A与BC边上的点E重合，过点B作BG∥AC交AE的延长线于点G，交DE的延长线于点F．
（1）当∠ABC=60°时，求CD的长；
（2）如果AC=x，AD=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结CG，如果∠ACB=∠CGB，求AC的长．

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（2013·思明区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA=

，点E、F在线段AB上（不与端点A、B重合），且∠ECF=45°．
（1）求证：BF·AE=2；
（2）判断BE、EF、FA三条线段所组成的三角形的形状，并说明理由．

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（2013·山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD．
（1）若AB=2，OD=3，求BC的长；
（2）若作直线CD，试说明直线CD是⊙O的切线．

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