试题

题目：

观察下列等式：12×18=216；24×26=624；33×37=1221；43×47=2021；…；
（1）写出一个含有上述规律的等式；
（2）用含有m、n的式子表示上述规律（限两位数乘以两位数），并证明它的正确性．

答案

解：（1）只要满足十位数字相同，个位数字相加得10即可，如72×78=5616；

（2）（10m+n）×[10m+（10-n）]
=100m（m+1）+n（10-n），
证明：左边=100m²+100m-10mn+10mn+10n-n²=100m²+100m+10n-n²左边=右边，
∴原式成立．
解：（1）只要满足十位数字相同，个位数字相加得10即可，如72×78=5616；

（2）（10m+n）×[10m+（10-n）]
=100m（m+1）+n（10-n），
证明：左边=100m²+100m-10mn+10mn+10n-n²=100m²+100m+10n-n²左边=右边，
∴原式成立．

考点梳理

考点
分析
点评

规律型：数字的变化类；整式的混合运算．

找相似题

有若干个数，第一个数记为a_v，第二个记为a₂，第三个记为a_多，…，第n个记为a_n，若a_v=-
v
2
，从第二个数起，每个数都等于“v与它前面的数的差的倒数”，试计算a₂=
2
多
2
多
，a_20vv=
-
v
2
-
v
2
．
观察下列按一定规律排列的数：0，-1，2，0，-3，4，0，-5，6，0，-7，8，…，则第50个数是
-33
-33
．
小明在一本书中发现了下面三个奇怪的等式：3+1
1
2
=3×1
1
2
；8.2+1
5
36
=8.2×1
5
36
； 3
1
2
+1
2
5
=3
1
2
×1
2
5

他一一检验后发现它们都是正确的．小明想除了上述三个之外应该还有这样奇怪的式子，于是小明进一步研究，不但写出了很多这样奇怪的等式，还找到了内在的规律：如果一个数为
b
a
(b＞a)，另一个数为
b
b-a
b
b-a
时（用a，b表示），可以构成类似上述的奇怪等式．
a₃=2×3²-3=3，a₂=2×2²-3=7，a₃=2×3²-3=37，a_的=2×的²-3=33，据此，可以推导出计算a_n的公式：a_n=
2n²-3
2n²-3
，若a_n=337，n=
33
33
．
探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，
解答问题：
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）=
（n+1）²
（n+1）²
；
（2）请用上述规律计算：41+43+45+…+77+79=
1200
1200
．