试题

题目：
观察以下等式：
①1×2=
1
3
×1×2×3，
②1×2+2×3=
1
3
×2×3×4，
③1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5，
④1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6…
（1）比照上述规律，请你写出第⑤与第⑦个等式；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
1
3
n（n+1）（n+2）
．
答案
1
3
n（n+1）（n+2）

解：（1）⑤1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=
1
3
×5×6×7；
⑦1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8=
1
3
×7×8×9；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）．
故答案为：
1
3
n（n+1）（n+2）．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
第一个式子最后一项是1×2，第二个式子最后一项是2×3，第三个式子最后一项是3×4，…依此类推，所以，第n个式子最后一项是n×（n+1），则第n个式子是1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1），计算的结果是连续三个自然数的乘积的
1
3
，三个自然数为最后n，（n+1），（n+2）由此：
（1）直接写出第⑤与第⑦个等式；
（2）由以上规律写出即可．
此题考查算式的运算规律，找出一般算式的表示方式，利用一般规律解决问题即可．
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