试题

题目：
观察下列等式：1×
1
2
=1-
1
2
，2×
2
3
=2-
2
3
，3×
3
4
=3-
3
4
，…
（1）探索这些等式中的规律，直接写出第n个等式（用含n的等式表示）；
（2）试说明你的结论的正确性．
答案
解：（1）n×
n
n+1
=n-
n
n+1
（4分）

（2）n-
n
n+1
=
n2+n
n+1
-
n
n+1
=
n2
n+1
=n×
n
n+1
（10分）
代入1，2，3
则有左边=1×
1
1+1
=
1
2
，右边=1-
1
1+1
=
1
2
；
左边=2×
2
2+1
=
4
3
，右边=2-
2
2+1
=
4
3
；
左边=3×
3
3+1
=
9
4
，右边=3-
3
3+1
=
9
4
．
综合以上左边=右边
所以等式正确．
解：（1）n×
n
n+1
=n-
n
n+1
（4分）

（2）n-
n
n+1
=
n2+n
n+1
-
n
n+1
=
n2
n+1
=n×
n
n+1
（10分）
代入1，2，3
则有左边=1×
1
1+1
=
1
2
，右边=1-
1
1+1
=
1
2
；
左边=2×
2
2+1
=
4
3
，右边=2-
2
2+1
=
4
3
；
左边=3×
3
3+1
=
9
4
，右边=3-
3
3+1
=
9
4
．
综合以上左边=右边
所以等式正确．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
从题意得等式的左右两边乘号或减号前的整数等于乘号或减号后的分数的分子，而分母加1，从而得到第n个等式．
从本题目来看，从自身结构找规律，归纳完后，要记住1，2，3等数代入验证所找出的规律是否符合．
规律型．
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