试题

阅读下列材料：1×2=

1

3

×（1×2×3-0×1×2），2×3=

1

3

×（2×3×4-1×2×3），3×4=

1

3

×（3×4×5-2×3×4），由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20．读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=．

解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2）+

1

3

×（2×3×4-1×2×3）+

1

3

×（3×4×5-2×3×4）+…+

1

3

×（10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
=

1

3

×10×11×12，
=440；

（2）∵1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=

1

4

×7×8×9×10=1260．
故答案为：

1

3

n（n+1）（n+2）；1260．