试题

（2010·北仑区二模）若一个矩形的短边与长边的比值为

5 -1

2

（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

解：（1）如图：以A为圆心，在AB上截取AE=AD，
以D为圆心，在DC上截取DF=DA，
连接EF，
所以四边形AEFD为所求作的正方形；

（2）答：四边形EBCF是黄金矩形．
证明：∵四边形AEFD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∴四边形EBCF是矩形．
设CD=a，AD=b，则有

b

a

=

5 -1

2

，
∴

CF

EF

=

a-b

b

=

a

b

-1=

2

5 -1

-1=

5 -1

2

，
∴矩形EBCF是黄金矩形．
解：（1）如图：以A为圆心，在AB上截取AE=AD，
以D为圆心，在DC上截取DF=DA，
连接EF，
所以四边形AEFD为所求作的正方形；

（2）答：四边形EBCF是黄金矩形．
证明：∵四边形AEFD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∴四边形EBCF是矩形．
设CD=a，AD=b，则有

b

a

=

5 -1

2

，
∴

CF

EF

=

a-b

b

=

a

b

-1=

2

5 -1

-1=

5 -1

2

，
∴矩形EBCF是黄金矩形．